La Parabola

La Elipse

Propiedad de la Parábola

Definicion

Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la parábola como un lugar geométrico:

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco.

De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario.

De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como Distancia focal o Radio focal.

Lado Recto

El segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Tangentes

Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Historia

La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo,donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Pasaje

“Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol” (Primera Ley de Kepler, 1609).

En la vida diaria...

• Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.


•Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.

• Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica.

Elipse & Parabóla

Qué es una elipse?

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vértices.

La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz.

En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.

Qué es la parábola?

La parábola es una sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz.

Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.